Паззлинки при перезагрузке страницы меняют свою форму...

Да.пазлы генерируются динамически.

Вроде раньше я могла отсортировать паззлинки по форме деталей, сохранить и на следующий день продолжить собирать... Или мне кажется?

Картинки кэшируются браузером. Если обновляете страницу, картинка грузится с сервера снова. Кроме того, часть пазлов кэшируется на сервере, но их число не велико, так как для их хранения требуются очень много места.